本文是对华萃康“色彩和声”理论的完善与拓展，研究范围仅限十二平均律。

(资料图片仅供参考)

一般来说，影响和声进行新鲜感的主要因素有两个，一是和弦的张力，二是和弦在五度圈中的方向(在色彩和声理论中称为“色彩度”)，华萃康分别构建了两套系统来描述这两大因素对于新鲜感的影响。但实际上，他也指出，这两套系统除了能独自发挥作用外，还会相互影响，具体表现为，在张力变化过大时，和声进行便无法表现出较大的色彩变化，反之，色彩变化过大时也无法获得较大的张力变化。

既然二者呈现如此关系，那么我们可否将它们放进同一个模型下研究呢？如果再把和声的功能特性也整合进来，我们将会建立一个囊括和声的张力、色彩度、功能性这三大属性的统一模型。

在接下来的内容中，笔者将依次介绍该模型的构建方法，通过该模型计算和声进行新鲜感的流程(和声分析程序)，以及在指定新鲜感变化趋势的前提下自动生成相应和声进行的方法(和声生成程序)。

向量模型下的全和弦定位

根据华萃康（1993）的计算，十二平均律中3至6个音的和弦结构共有208种，而每一种和弦在五度圈里又有12个方向。综合来看，如果将这些和弦都全部放进一个系统里，则将会出现2496个变量。虽然人力也能将它们的位置一一找出，但考虑到定位和弦的过程十分程序化，故利用计算机程序进行实现的话效率及准确度将会更高。

而多于6个音的和弦一定会与0至5音的音响结构互补（7个音对5个音，8个音对4个音......），它们的排列组合数量是相等的，故本文只讨论3至6音和弦的情况，下文“全和弦”特指所有3至6个音的和弦，多于6音的和弦定位方法同理。

定位方法

我们利用极坐标系中的向量模型来表示和弦，在该模型中，每一个和弦都对应着一个特定的向量。用极坐标（r,θ）来表示和弦向量的终点，其中坐标距离r（即向量的模长）表示和弦的协和度的量化值（长度越长协和度越大），坐标方向θ表示和弦在五度圈中的整体方向的量化值。

①方向量化法：先把和弦内音全都标记在五度圈（半径为1，圆心位于极点）中，再将它们的方向求算术平均值，该值就作为和弦的整体方向。以C和弦为例（图1-1-1），三个音C、G、E的方向分别为105°、75°和-15°，所以 。图中虚线表示所有和弦内音的分向量，实线的方向即为C和弦的方向。

②长度量化法：先根据《色彩和声》第352页“谱例7-4 和弦紧张度等级划分细则”（如下图）确定和弦的紧张度等级，再根据“紧张度-协和度关系图”（图1-1-2）确定协和度量化值。

图1-1-2中纵坐标表示协和度量化值，横坐标表示紧张度量化值，但实际上，和弦紧张度目前无法量化，因为多个音的共同作用太过复杂。目前笔者所见到的有关研究也仅是两个音的关系，见下图1-1-3，出自声学杂志 (Open Journal of Acoustics)，2014：4，78-89）（译者 @作曲奥校-陈文戈 ）。

从图中可以看到，小二度、大二度音程是造成不协和的主要因素，而十二律里，纯五跨度也是造成不协和的因素之一，而华萃康拟定的“和弦紧张度等级划分细则”也都是围绕和弦中所包含的大、小二度以及纯五跨度讨论的，虽然没有做到精确定量，但总体趋势是符合实际的。所以为了简化模型，笔者暂且将紧张度等级从低到高排列，来模拟紧张度量化值从低到高的情形，而紧张度与协和度也仅是让它们构成线性关系（如上图1-1-2那样）。

比如若判断得某一和弦的紧张度等级为Ⅲc级，则通过关系图可知协和度的量化值就为7.33，即是该和弦向量的模长。

③定位具体步骤：

首先得确定和弦的紧张度等级，只需依据谱例7-4，通过计量纯五跨度和半音程数确定紧张度组别，再计量大二度数以及判定有无大小三和弦来确定组别内的级别，而这个过程可以在五度圈内实现，方法如下：

纯五跨度计量法：将和弦内音以分向量形式表示在五度圈里（长度全为1），再寻找包含所有向量的最小夹角，每30°对应1单位的纯五跨度。如下图1-1-3的C-G纯五度音程，只形成了一个角，即 ∠COG，等于30°，所以该音程的纯五跨度=1；

半音程数计量法：计量分向量中150°夹角的个数，每有一个150°角，就对应1个半音程数，如图1-1-4， 因为∠COB=150° ，所以该音程的半音程数=1。顺带一提，此夹角包含5个30°，所以该音程的纯五跨度=5；

大二度数计量法：计量分向量中60°夹角的个数，每一个60°角对应一个大二度，如图1-1-5（同样的，该角包含2个30°，所以该音程的纯五跨度=2）。

大三和弦存在与否的判定法：先判断分向量中是否存在120°夹角，若有，则再确定该夹角顺时针第一条边的顺时针30°方向上有无单音向量，有则判定大三和弦存在，无则判定不存在，如图1-1-6的C大三和弦（顺便一提，因为包含所有分向量的最小夹角是∠COE，为120°，包含4个30°，所以该和弦纯五跨度=4）。

小三和弦存在与否的判定法：同理先判断有无120°角，有则再判断该角逆时针第一条边的逆时针30°方向上有无单音向量，有则判定小三和弦存在，无则判定不存在，如图1-1-7的A小三和弦（纯五跨度=4）。

协和度量化法：和弦紧张度等级确定后，即可通过上文的“紧张度-协和度模拟关系图”（图1-1-2）找到对应的协和度量化值。比如上述的Am和弦，纯五跨度=4，半音程数=0，所以可知组别为Ⅰ，又因为大二度数=0，且含有大三或小三和弦（本身就是个小三和弦），所以可得级别为Ⅰa。最后在“关系图”中看出Ⅰa级和弦的协和度量化值为10。

三音和弦的全定位

首先来看一组最简单的和弦结构，它的单音向量夹角分别呈30°和30°。该类和弦可以看作是以纯四度叠置构成，标记法为Xq，当然人们更爱用它的一种转位，即sus和弦。例如图1-2-1的由C、G、D构成的和弦（可以标记为Dq，或者Csus2、Gsus4），包含了所有分向量的最小夹角∠COG=60°，故纯五跨度=2；且无150°的夹角，故半音程数=0，对照谱例7-4确定其组别为Ⅰ组；只存在一个60°夹角，故大二度数=1，且无120°夹角，故判定无大（小）三和弦，再次对照谱例确定其级别为Ⅰb级，再根据“紧张度-协和度关系图”确定其长度为9.67。最后再用方向量化法确定示例和弦的方向，而该结构和弦在五度圈里可以有12个方向（用75°依次加30°即可），最后12个和弦向量如图1-2-2所示（蓝色实线）。（注意：图中保留了五度圈，这只是为了展现单音的方向，在这里五度圈的半径并无实际意义）

下面是单音向量夹角分别为30°、60°的和弦（∠COG=30°，∠GOA=60°），以及它的倒影结构（夹角分别为60°、30°）（如图1-2-3）（仅展示分向量，下同）。

单音向量夹角分别为30°、90°的和弦，倒影的夹角分别为90°、30°（图1-2-4），可以注意到它们分别是大三和弦与小三和弦。

以此类推直至夹角为30°、150°的和弦，以它们的倒影（图1-2-5）。至此，其中一个角为30°的三音和弦全部检索完毕（图注所示的命名法详见下文）。

接着检索其中一个角为60°的三音和弦（图1-2-6），以及其中一角为90°的三音和弦（图1-2-7）......直至三个角都是120°的和弦（增三和弦，该和弦是中心对称结构，同一情形可以有3个方向，如图1-2-8）。

四至六音和弦向量的定位方法与三音和弦的情况相同，就不做演示。

全和弦向量分布图

该分布图为一个二维图形，所有和弦的合向量都以极坐标的形式表现在圆心位于极点的“五度圆盘”上，该圆盘半径为10（包含部分常见的已命名“常用和弦分布图”见图1-3，为了便于观察，向量的模被隐藏了）。

笔者又用两个同心圆将圆盘分成了两个圆环和一个小圆，其中落在最中心的小圆区域内的和弦张力最大（高张力区），中间一层的圆环内和弦张力中等（中等张力区），而最外圈圆环的和弦张力最小（低张力区）。

为了区分对称结构和弦（轴对称、中心对称）与一般和弦，笔者将所有对称结构和弦都加了括号。

新和弦命名法（基于纯五跨度）

传统的和弦命名范围局限于三度和四度叠置的情况，在此需要开发一套新的命名法，以囊括十二律里所有的和弦。在此介绍一种根据上声部的和弦内音与低音之间的纯五跨度关系来命名的方法，我称之为“五度命名法”。

常规形式：

首先标记和弦的低音，之后在五度圈上从近到远依次寻找其余音，计算它们与低音的纯五跨度（顺时针方向为正，逆时针方向为负），最后将数值用大括号括起来标记在低音后面（10用X表示，11一般不会用到，因为那预示着和弦的纯五跨度为11，只有一个和弦符合条件，即12个音一起出声时）。

例如，由C、F#、Bb、B构成的和弦，如果以C为低音，则Bb与之相差2单位的纯五跨度，方向为逆时针，符号为负；B与低音相差5个单位的纯五跨度，方向为顺时针，符号为正；F#与低音相差6单位纯五跨度（此时方向顺逆时针皆可，故取正方便书写），所以该和弦被标记为“C{-2,5,6}”，如果以F#为低音则为“F#{-1,4,6}”，如图1-4-1所示。

同理又如由F、G、D、B、Bb、Db构成的和弦，如果以F为低音则表示为“F{-1,2,3,-4,6}”，如果以Db为低音则记为“Db{-2,3,4,-5,6}”，如图1-4-2。

最简形式：

由上面的例子不难发现一个问题，同样结构的和弦，改变低音，写法也发生了变化，这很容易使人造成混乱（不过对于机器来说很清晰），在此设立一种最简写法：以和弦的下极点音作为默认低音，依次计算顺时针方向上其余音的纯五跨度，并逐个标记在低音之后。

例如还是上面的C{-2,5,6}，该和弦的纯五跨度为7，下极点音为B，所以以B为默认低音，而其余音与低音的纯五跨度分别为1、5、7，所以该和弦最简记法为“B{1,5,7}”，如图1-4-3所示（因为其余音都位于默认低音的顺时针方向，所以该写法里不会出现负数）。该结构和弦还可以有12种方向，所以若默认低音不固定的话可以将它替换为“0”，则该结构和弦可以记为“{0,1,5,7}”。

有些和弦存在多组极点音的情况，还是以上文的F{-1,2,3,-4,6}为例，根据选取的下极点音不同，写法为可以为“Bb{1,3,4,7,9}”或者“B{2,5,6,8,9}”，这时可以将数字做加法，计算最小值的情况，谁小选谁，这里是Bb{1,3,4,7,9}，如图1-4-4。

最简形式命名法不同于古典时期的和弦命名法，它更像是一种利于计算机识别的和弦编码，创立此命名法也是为了能在五度圈里快速定位和弦分向量。

和声进行的新鲜感量化

和弦的两个基本属性

①色彩度：由两个变量体现，即向量的长度与方向，整体表现为五度圆盘上的一个点（如图1-4中的各个向量终点），若该点越靠近圆盘边缘，则方向性越明显，色彩性也越强，若越靠近圆盘中心，则方向性越不明显，色彩性也越弱（圆盘的半径为10）。

在笔者的模型里，“色彩度”这一概念与华萃康提出的有所出入，后者是一个一维变量（只有方向），而笔者所谓的色彩度是一个二维属性（同时具有方向和长度），这一点需要读者注意，但笔者还是沿用了这一称谓。

②协和度：由一个变量体现，即向量的模长（这里看似它是包含于色彩度，但实际上它是一个独立的属性，这么做最能拟合实际情况，具体请参看后文），和弦向量的模长越长，协和度就越大（张力就越小），色彩性就越明显（靠近圆盘边缘）；反之，长度越短，协和度就越小（张力就越大），色彩性就越弱（靠近圆盘中心）。

由此可见，色彩度与紧张度（张力）的关系相反，彼弱此强。此关系也符合《色彩和声》第七章第12节的“和弦的纯五跨度与色彩对比强烈程度的关系”，而且也能与实际情况相吻合（在张力过大的情况下，听众的注意力完全在张力变化上了，而或多或少忽略了色彩的对比）。

转位对协和度的影响

一般来说，相同的音程，转位与否也会影响其协和度（或张力）。还是从下面的关系图可以看出，小二度与大七度，大二度与小七度的不协和度有明显差异。如果反映在和弦里，则是大七和弦的转位以及大小七和弦的转位（具有大七度和小七度的和弦也一样），当以七音作为低音时，低音与根音将构成小二度或大二度音程，对比原位时的大七度或小七度音程，不协和度将增加（其余结构和弦也会因转位而改变协和度，只是变化没有大七度与小七度明显）。所以想要避免张力过大，上述两类和弦应尽量使用原位，而“常用和弦向量分布图”中的所有和弦也都是默认原位排列。

和弦的功能属性

除色彩度与协和度外，和弦的第三个基本属性是功能性，它能直接从和弦的分向量里反映出来（只要确定调中心位置），每个音相对于调中心的距离（纯五跨度）都是不同的，而它们都一一对映着某个确定的功能，具体情况如图2-3-1，该示例图默认以C为主音（标在内圈），此时调中心位于C与G之间，带颜色的字母标记的音都是“功能特性音”（简称特性音，标在外圈）；黑色汉字标记的为“功能基础音”（简称基础音），基础音很稳定，一般不做解决。

当和弦包含某一功能特性音时，该和弦也就具有该功能，如果该和弦解决（或进行）到主和弦，则体现该功能，否则不体现，即该和弦成为了对照和弦（此时它更多是为色彩与张力服务，而非功能）。

例如以D、F#、Ab、Bb构成的和弦，最简写法为F#{2,4,8}，若以C|G为调中心（C为主音，G为属音），则F#{2,4,8}将同时具有d组、s组以及DD组功能（如图2-3-2），若它能解决到主和弦，则将同时体现这些功能。

如果调中心换为B|F#（B为主音、F#为属音），此时可以直接将内圈字母与和弦分向量做整体旋转，则F#{2,4,8}将同时具有S组、D组以及t组功能，如图2-3-3。顺带一说，如果该和弦解决到T，那么其中的“t音→T音”可以理解为一种色彩对比，主功能的色彩对比。

和弦向量的功能表现形式

如果将和弦向量的名称用所含有的功能音替换，便可得到“和弦向量功能分布图”。图2-4-1给出了一个仅包含部分低张力和弦的雏形。图中靠近圆心的12个点表示功能音的方向，仅是为了提供颜色参照。圆盘270°方向附近有很多紫色的和弦，它们属于调系外和弦，特性音与主属二音并无直接关系，但可以通过等音转换实现功能组替代。例如“T.D.s"，在C大调里是E和弦，它实际上属于4D功能组，特性音为#G（理应上行小二度解决到A），但它与bA是等音，所以也具有s组功能（可以下行小二度“解决”到G），但该和弦听感与纯粹的s组和弦很是不同，可以制造新鲜感（所有标为紫色的和弦都是如此）。

例如图中的“s-d-主”表示的是该和弦由三个音组成，分别是s音、d音以及主音（C大调中为<Ab,Bb,C>）。

我们还可以单独列出某一功能的和弦，例如下图2-4-2的s组和弦分布雏形图，它包含了s组内紧张度等级Ia至VIIb的所有和弦以及VIIIa的部分和弦（为了便于观察和弦的分布情况，笔者用淡蓝色区块大致标记了分布范围，且隐藏了和弦名）。VIIIa之后的109种结构的和弦因协和度太低且很不常用，故笔者没将他们定位（对应图中灰色区域），读者可参看华萃康在《色彩和声》第354页所给的D组的所有和弦结构（如图2-4-3）。

因为s组与D组互为倒影关系，所以我们可以直接将s组分布图以调中心轴做一次反射变换，便可得到D组和弦的分布区域图（图2-4-4中橙色部分，对应上图D组的Ia到VIIb的所有和弦）。同理还可以做出DD组与ss组的范围，值得一提的是d组与S组，因为它俩是弱功能组，分布范围没有其余4个强功能组的大。

和弦电子词典

每个和弦都有分向量与合向量两种表现形式，从分向量可以看出和弦的功能音组成（调中心固定的情况下），而从合向量里又能看出和弦的色彩度与协和度（包括各功能组分布情况），这样和声的三大基本属性就都能确定。由此笔者设想构建一个类似词典形式的平台，它的主体就是一个包含所有和弦向量的五度圆盘，在此人们能够轻易地查询和弦的各个基本属性，使用者也可以对各个和弦进行批注（在哪首曲子出现过，给他感觉是什么，他的见解是什么，还能怎么运用......），以便后人快速理解和掌握。

和声进行色彩变化的量化方法

和弦的色彩属性体现为和弦在五度圆盘上的位置，那么和声进行的色彩变化就体现为两向量的终点的距离，即两向量的差向量模长。

以Bb→DM9为例，在五度圆盘上找到这两个和弦向量的终点位置，测量它俩的坐标距离，为15.8（如图2-5-1），该值就是此和声进行的色彩变化的量化值（它对标华氏色差）。

又如CM7→Fm6，色彩变化值为12.1（图2-5-2）。

和声进行张力变化的量化方法

张力（紧张度），是与协和度相反的存在，表现在五度圆盘上为向量的模长（其长度越长则张力越小），则和声进行的张力变化就体现为前后两和弦向量的模长变化。用后向量的模长减去前向量的模长，其绝对值便是张力变化的量化值。

例如A→G+，先将两向量定位，再测得OA向量的模长为10，OG+向量的模长为8，相减后绝对值为2，则该和声进行的张力变化值为2，如图2-6-1。

和声进行新鲜感的量化方法

新鲜感量化值＝色彩变化量化值＋张力变化量化值

例如Ab→DmM7。如图2-7-1，先在五度圆盘中定位出两向量，度量两个终点的坐标距离为8.88，（图中虚线，即色彩变化值）；再测量两向量的模长，分别为10和5，用两模长相减，其绝对值为5（张力变化值）。所以该和声进行的新鲜感量化值为8.88+5=13.88。

又如Bsus4→G9，该和声进行的新鲜感=色彩变化值+张力变化值=12.76+1.34=14.1（如图2-7-2）。

新鲜感变化曲线

音乐是时间的艺术，所以想要更清晰全面地分析音乐，就必须结合时间来看。现在我们可以构建一个直角坐标系模型，用横坐标表示时间（小节数），纵坐标表示和声的属性（色彩、张力）等，用平滑的曲线连接各个坐标点，这样就可以直观反映和声各属性的变化情况。

色差变化曲线

“色差”即和声进行的色彩变化，计算方式为后一和弦的色彩度减去前一和弦的色彩度，反映在五度圆盘里就是前后两和弦向量终点的距离，所以色差变化即是“色彩变化的变化”（尽管这听起看来有些拗口，它可以简单地被理解为将色差求一次导）。

华氏色差分为4个等级（A、K、Q、J），等级越高代表色差越高，具体取值范围为-6~6（符号表示方向）。而在向量模型里，色差取值为0~20（方向可单独列出）。现在用横坐标表示小节数，纵坐标表示色差，则能作出“色差变化曲线图”。

以一段较为典型的和声大调序列为例，并假设一小节一和弦：

T→s(iv min6)→T(vi7)→D→s→T→s(VIb)→T。

C为主音时为：

C→Fm6→Am7→G→Fm→C/E→Ab→C。

色差变化曲线如图3-1-1，和弦向量位置如图3-1-2。

张力差变化曲线（张力起伏）

用横坐标表示小节数，纵坐标表示张力差（注意不是“张力”），就能得到张力差变化曲线，它对标的是欣德米特提出的“张力起伏”。

随机写一个和声进行举例（一和弦一小节）：

D{-1,5,6,7}→Bb{2,4,6}→B{-3,3,5}→Am7→F#{1,2,5,7}→Csus4→EM9→F+。

张力差变化曲线如图3-2-1（第一小节和弦的协和度默认与10作比较）。

新鲜感变化曲线

新鲜感变化曲线=张力差变化曲线+色差变化曲线

还是以上面的随机和声进行举例，和弦向量终点位置如图3-3-1所示，张力差、色差、新鲜感三项数据的变化曲线见图3-3-2。

各项数据范围：

色差：0~20

张力差：0~10（除第一小节外，其余时候其值总小于等于色差值）

新鲜感：0~20

因为色差太高会导致张力差过小，同样的，张力差太高时也无法形成高色差，所以张力差与色差的量化值总和不会超过20。

方向、张力变化曲线

在上图中，你可能已经注意到表中还有两个参数，分别是方向与协和度，它俩其实就是合向量的终点坐标。它俩也可以作出相应的变化图，只不过它俩的重要性不如上文的三个参数，所以在此不作举例说明。

自动化和声分析流程

如上文介绍，现在理论上我们可以对十二律的曲子进行自动化和声分析，但目前的难点在于和弦录入的方式以及效率。

midi识别：如果程序能够自动识别midi，据此判断每小节的和弦音，则可做到高效分析。

音频中的和弦识别：这可能是最省力的方式，用户只用将整个音频文件导入程序，即可得出分析报告。但前提是程序得具备识别和提取和弦的功能，而且需要相当的准确性，目前市面上笔者所见的软件都无法做到这点。

五线谱识别：市面上有一些软件已经能够做到这一点，此方法形同于midi识别，可行性比较大。

和弦识别工作完成之后，即可进入正式流程：

所有和弦在五度圆盘的定位，包括分向量以及合向量（并给出链接到“和弦电子词典”）；

生成各项属性的变化表（包括方向、协和度、色差、张力差）；

作出各项属性的变化曲线图。

分析实例：“あの夏へ——久石让”

以《那个夏天》的钢琴版为例，仅截取前面的“前奏-主歌-中段-副歌”这一整段。

①全和弦向量定位（隐藏模长）。如下图3-6-1，该曲的调中心为C|G，即C为主音，G为属音。图中用灰色表示前奏，绿色表示主歌，蓝色表示中段，红色表示副歌，而且在和弦名的左下角标注了小节数。图3-6-2是隐藏了和弦名的纯净版本，方便更清晰地观察调性布局（为了方便比较，笔者还给出了C大调常用和弦的位置，如图3-6-3）。

不难发现，C大调常用和弦几乎都位于第一象限的外环上，而同为C大调的《那个夏天》，和弦位置分布广泛，这也是此曲能脱颖而出的一方面原因。

②色差，张力差，新鲜感变化曲线。其中，蓝色曲线表示张力差变化，红色曲线为色差，绿色曲线为新鲜感（下图3-6-4至图3-6-9）：

可以发现，主歌部分的新鲜感既有色差的贡献，也有张力差的贡献（用了很多四度和弦）；而副歌部分的新鲜感多来自于色差（大多是大小三和弦）；中段部分，和声变换频繁，且色差较大，导致新鲜感波动很大（波峰密集）。

在常见的曲子中，独立的各个段落内，新鲜感高点一般位于黄金分割点附近，而纵观整体，新鲜感高点则多位于主题段与中段的交界处（展现对比，它同样是在全曲黄金分割点附近）。而此曲也符合这些现象。

自动化和声生成程序(构想)

如果说“和声分析”是向程序正向输入的话，那么“和声生成”就是程序的反向输出。用户自行绘制变化曲线，设定范围（功能范围），程序自动生成和声进行，这是本笔者的终极目标。

基于三大逻辑的和声布局思路

和声的布局一般遵循三大逻辑，即功能逻辑、色彩逻辑以及张力逻辑。

①功能逻辑：根据全功能序列设计和声，即“主→对照→特性→主”。主部分（主组）可以是T或者t功能组和弦，对照部分（对照组）可以是DD、D、S、d、s、ss六个功能组的任意和弦，特性部分（特性组）可以是除对照组选定的功能组外的其余五个功能组和弦。根据不同位置功能组选择的不同，整个功能序列也会造就不同的调式。

比如主组选择T，对照组选择S，特性组选择D，构成T→S→D→T的功能序列，那么此时调式为自然大调；又如主组选择t，对照组选S，特性组选D，和声序列变成了t→S→D→t，此时调式为旋律小调。

可以预见的是，我们可以任意组合，构成前所未有的调式，从而在调式上创造独特性。比如t→S→ss→t，该调式目前没有正式的名字，它可以看作是将弗里吉亚调式（t→s→ss→t）的对照组s替换为S，由于t→S具有光明的色彩，而S→ss又有阴郁色彩，所以该调式所能描绘的图景范围也很广泛，而且听感也极其独特。

②色彩逻辑：根据色差的变化而设计和声，具体有三种操作方法：

第一种为点状设计，即在相对平稳的段落内设计一个色差高点（大于12），让音乐的发展在此时产生一个突然变化，进而产生新鲜感。它反映在变化曲线图里就是单独一个波峰。离调就是一种常用的点状设计，离调的瞬间，产生了一个调外和弦（往往距离主和弦较远），色差较大，但随后又马上转回原调，使得色差降回调内的水平。例如下图4-1-1的一段C大调离调，其中红色区域为高色差区。

第二种为线状设计，即在段落多处设置色差高点（大于12），使变化曲线连绵起伏，此时听众注意力往往集中于段落整体的色彩变化而非单独某和弦，上文《那个夏天》的副歌部分正是如此，下图4-1-2画出了高色差区（红色）以便观察。

第三种为块状设计，即段落里大部分和声进行都是高色差，此时色差变化曲线图就形成了一片高原，如下图4-1-3的例子（红色曲线），此时听众的注意力往往完全被和弦的色彩变化所吸引。

③张力逻辑：根据张力差的变化设计和声，操作方法同色彩逻辑相同，也有点状设计、线状设计和块状设计三种，同样能形成不同形式的变化曲线，在此就不一一举例说明了。

绘制色差变化曲线

我们希望用户自行绘制各参数的变化曲线，让程序生成对应的和声进行。不过因为新鲜感是由两个变量决定的，用户需要绘制至少两条曲线才能确定最后的和声进行（知二求三）。

我们可以先绘制色差变化曲线（实际上先画那条线都可以），取值范围为0~20，如下图4-2-1是笔者根据色差线状设计而绘制的曲线。可以在曲线的拐点处设置和弦，且一般来说乐曲会一小节一和弦或两和弦（平均分），所以为了方便演示，笔者将和弦的出现时间点都设置于小节第一拍或者小节中间（当然实际上任何时间点都可以），图中左侧给出了各个点的纵坐标测量值（字母P代表位置Position）。

我们知道色差反映在五度圆盘上就是两和弦向量终点坐标的距离，所以如果能够确定前一个和弦的位置，那么后一个和弦就一定位于“以前一个和弦为圆心，色差值为半径的圆”上，例如在此示例中，我们拟定第一个和弦是CM7，坐标为（7，30°），则第二个和弦（第1.5小节处的和弦）就位于以点CM7为圆心，半径为10.41的圆上（因为P1.5的纵坐标为10.41，表示与P1形成的色差为10.41），如下图4-2-2所示（字母H代表和声Harmony，没用Chord是怕与C和弦冲突，而H1表示第1小节的和弦（就是CM7）），图中红色圆周即是第1.5小节处的和弦可选位置）。

可以发现可选位置有无穷多个，还无法确定目标，所以我们还得借助张力差变化曲线。

绘制张力差变化曲线

张力差变化曲线的值域为0到10，而且要确保其与色差值之和不能超过20，如果人为绘制则会很难把握尺度，在此笔者设想可以先不限制范围，等绘制完成后再对曲线超范围的局部进行等比缩短，这样既能保证用户体验，又能最大化还原曲线形状。

下图4-3-1中蓝色曲线是笔者绘制的张力差变化曲线（并没有严格考虑限定范围），并给出了各个点的纵坐标（T代表张力Tension）。

张力差在五度圆盘里表现为两个和弦向量模长的差值，如果确定了前一和弦的协和度，则后一和弦的协和度也就能确定，所以后和弦一定位于“以极点为圆心，自身协和度值为半径的圆”上。

例如第1.5小节处的张力差为2.98，又因为第一个和弦是CM7，协和度是7，所以第1.5小节处和弦的协和度取值可以是（7+2.98）=9.98，或者是（7-2.98）=4.02。以它俩作为圆半径取值可得到两个同心圆（如下图4-3-2的蓝色圆），这两个蓝色圆周上的任意一点都是后一和弦的可选位置。

从上图可以发现蓝色圆与红色圆有4个交点，而它们便是“目标和弦”。理论上来说，这4个点都能满足要求，可随意选择，但如果要考虑功能性的话，我们的可选范围还能进一步缩小。

指定功能组

还记得“和弦向量功能分布图”吗？如果我们确定主音位置，则各功能组和弦的分布区域便也能确定。现在我们只需在选取目标和弦之前再规定它的功能组，这样程序便会在相应区域内（或附近）选择目标和弦，真正做到精确选择。例如上图的4个可选点，如果规定功能组必须是s，则只能选“目标和弦2”，如下图4-4-1所示（s组和弦只存在于淡蓝色区域内）。

但是由于笔者只是手动定位过部分s组和弦位置（其余和弦还需通过电子程序完成），所以现阶段我们还无法做到同时通过三大逻辑精确生成和声（现在只有色差、张力差这两大逻辑）。

如果还想体现功能性，我们也是有办法的，即遵循一个原则：选择的目标和弦应尽量接近于初始和弦或主三和弦。因为各功能组都是有一定范围的（包括主功能组T与t），所以目标和弦尽量靠近主功能区域有利于巩固调性，这样就不至于造成调性模糊。

现在还是以上文所述的变化曲线为例，继续解析剩余和弦位置，原则就是目标和弦的选取尽量靠近C和弦（C大调），等所有目标和弦定位完毕后，我们再通过和弦音确定功能所属。

目标和弦的定位

鉴于目前这一套生成流程还没有被落实成为电子程序，所以笔者只能手动地“运行”了一遍，生成的每个目标和弦位置图都集中展示于图4-5-1。

值得注意的是第6.5小节处的目标和弦（如下图4-5-2），此时蓝色圆与红色圆没有交点，我们只能找到红蓝圆距离最近的间隙处的中点来作为目标和弦位置（这是一种近似）。造成这个情况的原因就是当初绘制张力差曲线时没有考虑限定范围（不过无论是事前或事后，我们都有方法来解决这个问题）。

最终所有目标和弦位置如图4-5-3所示。

实际和弦的近似

从上文的目标和弦分布图中可以看到，有些目标和弦已经超出五度圆盘的范围了，这是怎么回事呢？我们知道一个二维平面内是存在无数个点的，但十二律里的和弦数量却是有限的，所以就算我们将目标和弦放进全和弦都定位完毕的五度圆盘中，也不可能与任何一个和弦对应上。所以不能指望目标和弦就是某个确定的和弦，它仅能表示“我们需要的和弦的具体位置”。

那么如何确定最终的和弦呢？这时我们的策略是寻找近似点，即在目标和弦的周围寻找已知的和弦，二者距离越近，则结果越精确（这也是全和弦定位如此重要的原因）。现在我们将已定位好的15个目标和弦放入“常用和弦分布图”里，再寻找它们附近的已知和弦即可（如下图4-6-1）。例如H1.5附近有一个F7和弦，那么我们就让乐曲第1.5小节处演奏F7和弦（F7就是一个“近似和弦”）。

各位置的近似和弦都被找到后，它们构成了如下和声进行：

CM7→F7→Aq10→Fadd9→D7→Bb→Eo→(Ab+)→G/C→C→A9→Fm/Bb→C9→Gmadd9→FM7

和声进行的各项数据以及实际的色差、张力差和新鲜感变化曲线如下图4-6-2所示。表格第2、3行对应的是图4-3-1手动绘制的曲线上取的点的坐标，第5、6行对应的是所有“目标和弦”的坐标，第7、8行对应的是所有“近似和弦”的坐标，第9、10行展示了所有近似和弦具体都是哪些以及各自所属功能组，最后三行指的是“用选定的近似和弦组成和声进行后，色差、张力差和新鲜感的变化情况”（下方的变化曲线也是据此而做）。

最后我们再将当初绘制的变化曲线与实际的变化曲线放在一起做个比较，发现实际数据基本符合我们的预想（如下图4-3-2）。

总结

本文的内容主要以以下四个部分逐一展开：

第一部分，介绍了一套极坐标系下的向量模型，用于囊括十二平均律下的所有和弦，以及如何将任意和弦定位到该模型之中。

第二部分，介绍了和弦的三大基本属性（协和度、色彩度、功能性）是如何反映在向量模型里的，并展示了在该模型下求和声进行的张力差、色差与新鲜感的方法。

第三部分，介绍了如何利用带平滑曲线的散点图来形象地描述和声进行的张力差、色差与新鲜感的变化情况（和声自动分析程序）。

第四部分，介绍了如何在指定了和声进行的色差、张力差与功能性的前提下，倒推出相应和声进行的方法（和声自动生成程序）。

虽然文中提到的模型与算法还处在理论阶段，但笔者已经通过手动运行证明了该模型的可实施性，如果将其落实为一套可运行的电子程序，则能够真正地做到十二平均律下和声的高效分析与输出，想必或多或少能对广大作曲爱好者有所帮助。